قدّمناه في المثلثات المستقيمة الأضلاع ، وذلك أن جيوب أضلاع هذه القسيّ تتناسب كتناسب جيوب الزوايا التي تقابلها كل واحد لنظيره . مثاله في مثلث : ا ب ج ، وأضلاعه من دوائر عظم أن نسبة جيب : ا ب ، إلى جيب : ب ج ، كنسبة جيب زاوية : ج ، إلى جيب زاوية : ا . برهانه : أنا نتم كل واحد من : ا ح ، ا ط ، ج د ، ج ز ، ربع دائرة وندير على قطبي : ا ، ج ، وببعد ضلع المربع قوسي : ح ط ، ز د ، فتكونا بقدر الزاويتين المذكورتين ، وننزل : ب ه ، من دائرة عظيمة قائمة على : ا ج ، فبحسب ما تقدّم تكون نسبة جيب : ا ب ، إلى جيب : ب ه ، كنسبة جيب : ا ح ، الربع إلى جيب : ح ط ، ونسبة جيب : ب ه ، إلى جيب : ب ج ، كنسبة جيب : د ز ، إلى جيب : ز ج ، الربع ، فبالمساواة في النسبة المضطربة نسبة جيب : ا ب ، إلى جيب : ب ج ، كنسبة جيب : د ز ، مقدار زاوية : ج ، إلى جيب : ح ط ، مقدار زاوية : 1 ولنعد قطاع : ا ج ز ط ، ومداره على أضلاع مثلث : ا ب ط ، وزواياه ، وذلك أن : ب ج ، تمام ضلع : ا ب ، و : ط د ، تمام ضلع : ا ط ، و : ط ز ، تمام ضلع : ب ط ، و : ج د ، مقدار زاوية : ا ، و : د ز ، تمامه ، ونخرج قسيّ القطاع على استداراتها وندير على قطب : ط ، وببعد ضلع المربع قوس : ك ل م ، وعلى قطب : ا ، كذلك قوس : س ع ، فتساوى : ج د ، وقد تقرّر أن نسبة جيب : ا ط ، إلى جيب : ط ب ، كنسبة جيب : ا د ، إلى جيب : د ج ، وكذلك نسبة جيب : ا م ، إلى جيب : م ل ، كنسبة جيب : ا ع ، إلى جيب : ع س ، التي هي النسبة الأولى ، فنسبة جيب : ا ط ، إذن إلى جيب : ط ب ، كنسبة جيب : ا م ، إلى جيب : م ل .